Дискретний логарифм

Реферат на тему:

Дискретний логарифм

Проблема обчислення дискретного логарифма є не лише цікавою, а й вкрай корисною для систем захисту інформації. Ефективний алгоритм знаходження дискретного логарифму значною мірою знизив би безпеку систем ідентифікації користувача та схеми обміну ключей.

Означення. Нехай G – скінченна циклічна група порядка n. Нехай g – генератор G та bÎ G. Дискретним логарифмом числа b за основою g назив$ається таке число x (0 £ x£ n — 1), що gx = b та позначається x = loggb.

Проблема ди$скретного логарифму. Нехай p – просте число, g – генератор множини Zp*, yÎZp*. Знайти таке значення x(0 £x£p — 2), що gxºy (modp). Число x називається дискретним логарифмом числа yза основою g та модулем p.

Узагальнена проблема дискретного логарифму.Нехай G – скінченна циклічна група порядка n, g – її генератор, bÎ G. Необхідно знайти таке число x (0 £ x£ n — 1), що gx = b.

Розширенням узагальненої проблеми може стати з$адача розв’язку рівняння gx = b, коли знято умову циклічності групиG, а також умову того, що g – генератор G (в такому випадку рівняння може і не мати розв’язку).

Приклад.g = 3 є генератором Z7*: 31 = 3, 32 = 2, 33 = 6, 34 = 4, 35 = 5, 36 = 1.

log34 = 4 (mod 7), тому що розв’язком рівняння 3x = 4 буде x = 4.

Теорема.Нехай а – генератор скінченної циклічної групи G порядка n. Якщо існує алгоритм, який обчислює дискретний логарифм за основою а, то цей алгоритм може також обчислити дискретний логарифм за будь-якою основою $b, яка є генератором G.

Доведення. Нехай kÎG, x = logak, y = logbk, z = logab. Тоді ax = by = (az)y, звідки x = zymodn. Підставимо в останню рівність замість змінних логарифмічні вирази:

logak =(logab) (logbk) modn

або

logbk =(logak) (logab)-1modn.

З останньої рівності випливає справедливість теореми.

Примітивний алгоритм

Для знаходження log$gb (g – генератор G порядка n, bÎ G) будемо обчислювати значення g, g2, g3, g4, … поки не отримаємо b. Часова оцінка алгоритму – O(n). Якщо n– велике число, то час обчислення логарифму є достатньо великим і тому алгоритм є неефективним.

Алгоритм великого та малого кроку

Першим детермінованим алгоритмом для обчислення дискретного логарифму був алгоритм великого та малого кроку, запропонований Шанком (Shank) [1].

Для обчислення loggb в г$рупі Zn*необхідно зробити наступні кроки:

1. Обчислити a = é ù ;

2. По$будувати списокL1 = 1, ga, g2a, …, g (за модулем n);

3. Побудувати списокL2 = b, bg, bg2, …, bga — 1 (за модулем n);

4. Знайти число z, яке зустрілося в L1 та L2.

Тоді z = bgk = gla для деяких k та l. Звідси b = glak = gx; x = lak.

Два питання постає при дослідженні роботи наведеного алгоритму:

1. Чи завжди знайдеться число, яке буде присутнім в обох списках?

2. Як ефективно знайти значення z?

Запишемо x = sa + t для деяких s, t таких що 0 £s, $t < a. Тоді b = gx = gsa + t. Домножимо рівність на gat, отримаємо: bgat = gs(a + 1). Значення зліва обов’язково зустрінеться в L2, а $справа – в L1.

Відсортуємо отримані списки L1 та L2 за час O(a * loga). За лінійний час проглядаємо списки зліва направо порівнюючи їх голови: якщо вони рівні, то значення z знайдене, якщо ні – то видалити менше число і продовжити перевірку.

Приклад. Розв’язати рівня$ння: 2xº 11 (mod 13).

a = é ù = 4;

L1: 1, 24º 3, 28º 9, 212º 1, 216º 3;

L2: 11, 11 * 2 º 9, 11 * 22º 5, 11 * 23º 10;

Число 9 зустрілося в обох списках. 11 * 2 º 28, 11 º 27, звідки x = 7.

Відповідь: x = 7.

Інший підхід до реалізації алгоритму великого та малого кроку можна отримати якщо рівність b = gsa + t (a = é ù , 0 £s, t < a) переписати у вигляді b * (ga)s$ = gt. Обчислимо ga та складемо таблицю значень gt, 0£t < a. Далі починаємо знаходити значення b * (ga)s, s = 0, 1, … перевіряючи їх наявність у таблиці gt. Як тільки знаходяться такі s та t, алгоритм зупиняється.

Приклад. Обчислити log23 в групі Z19* .

3 = 2x = 2sa+1, 3 * (2a$)s = 2t. Складемо таблицю 2t, 0£t < é ù = 5:

t 0 1 2 3 4
2t 1 2 4 8 16

2-1º 10 (mod 19), оскільки 2 * 10 º 1 (mod 19).

Тоді 3 * (25)s(mod 19) º 3 * (105)s (mod 19) º 3 * 3s (mod 19)

Обчислюємо 3 * 3s, s = 0, 1, … :

s $0 1 2
3 * 3s 3 9 8

Значення 8, яке отримали при s = 2, присутнє в таблиці 2t, 0£t < 5.

Звідси3 * (25)2 = 23або $3 = (25)2* 23 = 25*2+3 = 213.

Відповідь: 3 = 213, тобто log23 = 13.

Алгоритм Полард — ро

Нехай G – циклічна група з порядком n (n – просте). Розіб’ємо елементи групи G на три підмножини S1, S2 та S3, які мають приблизно однакову потужність. При цьому необхідне виконання умови: 1 Ï S2. Визначимо послідовність елементів xi наступним чином:

x0 = 1, xi+1 = , i ³ 0 (1)

Ця послідовність у свою чергу утворить дві послідовності ci та di , що задовольняють умові

xi =

та визначаються наступним чином:

$с0 = 0, сi+1 = , i³ 0 (2)

та

d0 = 0, di+1 = , i ³ 0 (3)

Алгоритм буде працювати циклічно шукаючи таке знчення i, для якого xi = x2i. Для таких значень будуть мати місце рівність = або = . Логарифмуючи останню рівність за основою a, матимемо:

$

(did2i) * logabº (c2ici) mod n

Якщо di¹d2i (modn), то це рівняння може бути ефективно розв’язано для обчислення logab.

Алгоритм

Вхід: генератор a циклічної групи G з порядком nта елемент bÎ G.

Вихід: дискретний логарифм x = logab.

1. x0¬ 1, c0¬ 0, d0¬ 0.

2. fori = 1, 2, … do

2.1. За значеннями xi-1, ci-1, di-1 та x2i-2, c2i-2$, d2i-2 обчислити значення xi, ci$, di та x2i, c2i, d2i використовуючи формули (1), (2), (3).

2.2. if (xi = x2i) then

r¬ (did2i) modn;

if (r = 0) thenreturn (FALSE); // розв’язку не знайдено

x¬r-1 (ci$c2i) mod n.

return (x).

Якщо алгоритм завершується невдачею (повертає FALSE), то можна запустити його вибравши інші початкові значення c0, d0 з інтервалу [1; n — 1] та поклавши x0 = .

Приклад. Обчислити log29в групі Z19*.

Побудуємо наступну таблицю значень послідовностей xi, ci, di:

$

i xi ai bi x2i a2i b2i
1 9 0 1 18 1 1
2 18 1 1 4 4 2
3 17 2 1 4 8 6
4 4 4 2 4 16 14
5 17 4 3 4 32 30
6 4 8 6 4 64 62

На 6 кроці отрима$ли x6 = x12. Підставивши їх значення, отримаємо:

28 * 96 = 264 * 962 або 28 – 64 = 962 – 6 , 2-56 = 956

Логарифмуємо рівність: -56 * log29 = 56 (mod 18), оскільки |Z19*| = 18.

Враховуючи що -56 (mod 18) º 16, 56 (mod 18) º 2, перепишемо рівність у вигляді 16 * log29 = 2 (mod 18) або 8 * log29 = 1 (mod 9). log29 = 8-1 (mod 9) = 8.

Відповідь: log29 = 8.

Індексний алгоритм

Алгоритм, базований на обчисленні індексів, є найпотужним при обчисленні дискретного логарифму. Необхідно побудувати відносно нев$елику підмножину S елементів групи G, яка називається множниковою основою. Ця підмножина повинна обиратися таким чином,$ щоб як можна більша частина елементів G могла бути представлена у вигляді добутку її елементів. При обчисленні значення logab (a – генератор G, bÎ G) спочатку обчислюються значення логарифмів елементів з S (які заносяться в тимчасову базу даних), а потім на їх основі обчислюється логарифм числа b.

Алгоритм

Вхід: генератор a циклічної групи G порядка n та елемент bÎ G.

Вихід: дискретний логарифм x = logab.

1. Побудувати множину S – множникову $основу. Нехай S = {p1, p2, …, pt}. В якості значень piможна обрати, наприклад, i — те просте число.

2. Побудувати систему лінійних рівнянь, розв’язком якої будуть значення logapi. Для цього виконаємо наступні кроки:

2.1. Обрати деяке ціле k, 0 £ k£ n — 1 та обчислити ak .

2.2. Спробувати представити значення ak у вигляді добутку чисел з S:

ak = , ci³ 0

Якщо така рівність знайдена, то записати рівняння:

k = (mod n)

2.3. Повторювати кроки 2.1. та 2.2. поки не отримаємо t + cлінійних рівнянь. Невелике ціле число c (1 £c£ 10) обирається таким чином, щоб складена система рівнянь мала єдиний розв’язок з великою ймовірністю (якщо скласти лише t рівнянь з t невідомими, то з великою ймовірністю два з цих рівнянь будуть залежним$и і тоді система буде мати більше одного розв’язку).

3. Розв’язати утворену систему рівнянь, отримати значення loga$pi, 1£i£t.

4. Обчислення logab.

4.1. Обрати деяке ціле k, 0 £ k£ n — 1 та обчислити b*ak .

4.2. Спробувати представити значення b*ak у вигляді добутку чисел з S:

b*ak = , di³ 0

Якщо такого представлення знайти не вдається, виконати знову 4.1. Інакше прологарифмірувавши останню рівність, отримаємо:

x = logab = ( — k) mod n

Приклад. Обчислити log212 в групі Z19*.

1. Нехай S = {2, 3, 5} – множникова основа.

2. Будуємо систему рівнянь для знаходження значень log2pi, де pi$ÎS. Оскільки множина S містить 3 елементи, то достатньо отримати 3 лінійно незалежні рівняння.

k = 5: 25 (mod 19) º13 – не представимо у вигляді добутку чисел з S.

k = 7: 27 (mod 19) º14 – не представимо у вигляді добутку чисел з S.

k = 2: 22 (mod 19) º4 = 22. Перше рівняння: 2 = 2log22.

k = 10: 210 (mod 19) º17 – не пред$ставимо у вигляді добутку чисел з S.

k = 15: 215 (mod 19) º12 = 22 * 3. Друге рівняння: 15 = 2log22 + log23.

k = 11: 211 (mod 19) º15 = 3 * 5. Третє рівняння: 11 = log23 + log25.

3. Система рівнянь за модулем 18 (порядок Z19* дорівнює 18) має вигляд:

Її розв’язком буде:

log22 = 1, log23 = 13, log25 = 16

4. Обчислення log212.

k = 3: 12 * 23(mod 19) º 1 – не представимо у вигляді добутку $чисел з S.

k = 7: 12 * 27 (mod 19) º16 = 24.

log212 + 7 º 4log22 (mod 18), log212 º (4log22 – 7) (mod 18) = 15.

Відповідь: log212 = 15.

Алгоритм Поліга – Хелмана

Алгоритм Поліга – Хелмана ефективно розв’язує задачу дискретного логарифма в гру$пі G порядка n, якщо число n має лише малі прості дільники.

Нехай g, hÎG, |G| = ps, p – просте. Тоді значення x = loggh можна подати у вигляді:

x = x0 + x1p + x2p2 + … + xs-1ps-1

Піднесемо рівняння h = $gxдо степеняps-1:

= = =

* * * … * = ,

оскільки = 1 (g – генератор групи, ps – її порядок).

Таким чином з рівності = знаходимо x0.

Далі маючи значення x0, x1, …, xi-1можна обчислити xiз рівняння

=

Приклад. Обчислити log37 в Z17*.

Необхідно розв’язати рівняння 3x = 7 в групі, порядок якої дорівнює 16 = 24.

Представимо x у двійковій системі числення: x = x0 $+ 2x1 + 4x2 + 8x3.

1. Обчислення x0.

Піднесемо рівняння 3x = 7 до степеня 23 = 8:

= 78, = -1,

* * * = -1.

Оскільки 316 (mod 17) º 1, тоостаннє рівняння прийме вигляд = -1. Враховуючи що 38 (mod 17) º -1, маємо: = -1, x0 = 1.

2. Обчислення x1.

Домножимо рівність = 7 на = 3-1 (mod 17$) = 6, отримаємо:

= 7 * 6 або = 8.

Піднесемо рівняння до степеня 4: = 84, = -1, x1 = 1.

3. Обчислення x2.

1. D. Shanks. Class number, a theory of factorization and genera. In Proc. Symposium Pure Mathematics, vol.20, pp.415-440. American Mathematical Society, 1970.

Post Comment