Формула Н ютона Лейбінца

Міністерство освіти України

Коломийське В П У-17

Реферат

На тему: Формула Ньютона – Лейбніца.

Учня групи № 15

Лінькова А.М.

Коломия 2002р.

Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = kx, y = x² Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.

Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 – 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули геометрич-ним міркуванням.

.$

Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що

S
f
x
dx
a
b
=
ò
,
(
)
що

Виберемо довільну точку x є [ a; b]і проведемо через

неї пенпендикуляр хК до осі Ох. Площа фігури а А К х

змінюється зі змінною х. Позначемо цю функцію че-

рез S (x) і покажемо, що існує її похідна причина, при-

чому(x)=ƒ(x),деy=ƒ(x) – підінтегральна функція,

графік якої обмежує криволінійну трапецію. Інакше

кажечи, покажемо, що S (x) є первісною для ƒ(x).

Надамо змінній x приросту Δx, вважаючи ( для спрощення міркування), що Δx > 0$. Тоді й фенкція S (x) набуде приросту ΔS (x). У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку[ a; b]функціяy=ƒ(x )досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція y=ƒ(x ) є неперервною на відрізку[x,x+Δx], то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже,

mΔx < ΔS (x) < MΔx

Поділивши всі частини цієї нерівності на, одержимо

За непервністю функціїy=ƒ(x)

lim m =lim M = ƒ(x)

D
®
D
D
=
D
®
D
D
=
¢
¢
=
lim
0
(
)
(
).
lim
0
(
)
(
),
(
)
(
),
тоді
x
S
x
S
$f
x
x
S
x
x
S
x
то
S
x
f
x
тобто

Δx→0 Δx→0

Але
Оскільки

функція є однією з первісних функції y=ƒ(x ).

Позначимо через F(x)будь-яку первісну для функціїy=ƒ(x ). За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C. Тому

S(x) = F(x)+ C. (1)

При x=a криволінійна трапеція вироджується у відрізок aA, тому S(x$) = 0.

Підставивши у рівність (1) замість х число а , а замість S(x) число 0, одер-жимо C= — F(a). Після підстановки замість Cу рівність (1) його значення маємо

S(x) = F(x)-F(a). (2)

Коли x=b, то площа криволінійної трапеції дорівнює числуS=S(b). Крім того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд

S(b) = F(b)-F(a).

Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює

b

значенню ∫ ƒ(x) dx.Тому можна зробити висновок, що

a

b

∫ ƒ(x) dx = F(b)-F(a). (3)

a

)
x
a
b
(

Це і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтегралу на відрізку[a$;b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при x=bix=a.

F

Різницю F(b)-F(a) позначають. Тому рівність (3) можна записати так:

=
(
)
(
)
f
x
dx
F
x
b
b
ò
a
a

Розвязання роглянутих раніше двох задач про площі трикутника і фігури, обмеженої параболою, значно спрощується, якщо використати формулу Ньютона – Лейбніца. Справді,

S
ò
D
=

$

=
=
=
o
k
o
k
OAB
xdx
x
k
k
2
0
2
2
2

(кв. од.);

o
3
3
3
o

(кв. од.).

П р и к л а д 3. Обчислимо за формулою

Ньютона – Лейбніца площу фігури,

обмеженої зверху синусоїдою y=sinx,

x
i
x
=
=
p
p
4
2

знизу – віссю Ох, а з боків – прямими

.

S
x
$

dx
x
p
p
p
p
p
p
ò
=
=
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
4
2
sin
cos
2
4
cos
2
cos
4
0
2
2
2
2

Розв’язання:

( кв. од.).

j
$

j
±
=
±
=
=
+
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
a
b
a$
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
c
a
b
f
x
x
dx
f
x
$

dx
x
dx
k
f
x
dx
k
f
x
dx
f
x
dx
f
x
dx
x
dx
1
.
2
.
,
.
3
.
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

Запишемосимволічно основні властивості інтеграла, які випливають із властивостей первісної та формули Ньютона – Лейбніца. Їх неважко довести, користуючись означенням інтеграла:

k

R
.
Î

де

тобто якщо відрізок[a;b]розбито на два

+
$+
ò
ò
+
=
4
.
1
,
a
b
ka
p
kb
p
f
kx
p
dx
k
f
t
dt
)
(

$

)
(

відрізки точкою с, то інтеграл на відрізку[a;b]дорівнює сумі інтегралів на від- різках[a;b] i[a;c].

де

Доведіть самостійно перші три властивості. Останню иластивість доведен-но в курсі математичного аналізу.

p
)
(
4
x
dx
cos
3

$

ò
x

Приклад 4. Обчислити

0

Розвязання:

2
+
ò
)
(
2
2
x
dx

Приклад 5. Обчислити

1

Розвязання:

4
è
ø
3

Приклад 6. Обчислити

p

Розв’яззати:

Post Comment