Функціональний ряд область його збіжності Cтепеневі ряди Теорема Абеля Інтервал і радіус збі

Пошукова робота на тему:

Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Степеневі ряди за степенями (x-a)

План

  • $Функціональний ряд.
  • Область збіжності
  • Рівномірна збіжність
  • Степеневі ряди
  • Теорема Абеля
  • Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду
  • Ряди за степенями

1 . Функціональні ряди

1 .1. Функціональні ряди. Область збіжності

Ряд

(13.22)

називається функціональним, я$кщо його члени є функціями від Надаючи певного числового значення, ми одержимо різні числові ряди. Одні з них можуть бути збіжними, інші – розбіжними.

Означення. Сукупність тих значень при яких ряд (13.22) збігається, називається област$ю збіжності функціонального ряду.

Очевидно, що в області збіжності ряду його сума є деякою функцією від . Тому його суму будемо позначати через

Через позначимо частинну суму ряду (13.22), тобто суму перших його членів

$(13.23)

Тоді

, (13.24)

де

і називається залишком ряду. Для всіх значень в області збіжності ряду має місце співвідношення а тому

(13.25)

тобто залишок збіжного ряду прямує до нуля при

Приклад. Знайти область збіжності ряду .

Р о з в ‘ я з о к. Для знаходження області збіжності даного функціонально$го ряду використаємо радикальну ознаку Коші

. Ряд збігається при тих

значеннях при яких ця границя менша за одиницю, тобто

Дослідимо збіжність ряду на кінцях проміжку, тобто при і .

При : $ряд розбігається.

При : ряд розбігається.

Областю збіжності даного ряду є проміжок

1 .2. Рівномірна збіжність

Означення. Функціональний ряд (13.22), збіжний для всіх із області , називається рівномірно збіжним в цій області, якщо для довільного як завгодно малого числа існує такий незалежний від номер $ що при нерівність

або (13.26)

виконується одночасно для всіх із

Приклад 1. Розглянемо прогресію

вона збігається в відкритому проміжку Для довільного із залишок ряду має вигляд:

Якщо довільно зафіксувати, то, очевидно:

Це показує, що здійснити для всіх одночасно нерівність

(якщо )

при одному й тому ж номері неможливо. Отж$е, збіжність прогресії

в проміжку нерівномірна; це ж відноситься і до проміжків і зокрема.

Приведемо без доведення ознаку рівномірної збіжності ряду (13.22).

$ Ознака рівномірної збіжності. Для того, щоби ряд (13.22) рівномірно збігався в області необхідно і достатньо, щоби для кожного числа існував такий не залежний від номер що при і довільному нерівність

(13.27)

буде мати місце для всіх із одночасно.

Для встановлення на практиці рівномірної збіжності рядів користуються більш зручнішими в застосуванні достатніми ознаками, наприклад ознакою Вейєрштрасса.

Ознака Вейєрштрасса. Якщо члени функціонального ряду (13.22) задовольняють в області нерівностям

($13.28)

і числовий ряд

(13.29)

збігається, то ряд (13.22) збігається в рівномірно.

При наявності нерівності (13.28) говорять, що ряд (13.22) мажорується рядом (13.29), або що ряд (13.29) служ$ить мажорантним рядом для (13.22).

Приклад 2. Розглянемо ряд

Р о з в ‘ я з о к. Оскільки нерівності виконуються на всій числовій осі, а числовий ряд збігається, то даний функціональний ряд рівномірно збігається на

1.3. Функціональні властивості суми ряду

Ми переходимо тепер до вивчення функціональних властивостей суми ряду, складеного із функцій, в зв’язку із властивістю останніх.

Cу$ма скінченого числа неперервних на відрізку функцій є неперервна на цьому відрізку функція. Для суми ряду (що складається із безмежного числа доданків) ця властивість не зберігається. Тут необхідні додаткові вимоги на неперервні доданки.

$

Теорема 1 (про неперервність суми ряду). Якщо функції визначені та неперервні в проміжку і ряд (13.22) рівномірно збігається в до суми , то й ця сума буде неперервною в проміжку

Зауваження. Рівномірна збіжність фігурує в теоремі лише як достатня умова і не потрібно думати, що ця умова є необхідною для неперервності суми ряду. Наприклад, ряд

на відрізку має неперервну суму, тотожньо рівну нулю, хоча на цьому відрізку ряд збігається нерівномірно.

Теорема 2 (про почленний перехід до границі). Нехай кожна з функ$цій визначена в області і має скінченну границю при :

$ (13.30)

Якщо ряд (13.22) в області збігається рівномірно, то збігається і ряд, складений із цих границь:

(13.31)

і сума ряду (13.22) також має при границю, а саме:

(13.32)

Рівність (13.32) можна записати в такому вигляді:

(13.33)

Таким чином, при наявності рівномірної збіжності функціонального ряду, границя суми ряду дорівнює сумі ряду, складеного із границь його членів, або, іншими словами, допустимий граничний перехід ”почленно”.

Теорема 3 (про почленне інтегрування рядів). Якщо функції $ неперервні на відрізку і складений з них ряд (13.22) збігається на цьому проміжку рівномірно, то інтеграл від суми ряду (13.22) можна представити таким чином:

(13.34)

Рівність (13.34) можна записати ще так:

(13.35)

Отже, у випадку рівномірної збіжності функціонального ряду, інтеграл від суми ряду дорівнює сумі ряду, складеного із інтегралів від його членів, або$, іншими словами, допустиме ”почленне” інтегрування ряду.

Теорема 4 (про почленне диференціювання рядів). Нехай функції визначені на проміжку і мають на ньому неперервні похідні . Якщо в цьому проміжку ряд (13.22) збіга$ється і, крім того, рівномірно збігається ряд, складений із похідних:

, (13.36)

то й сума ряду (13.22) має в проміжку похідну, причому

(13.37)

Рівність (13.37) можна записати так:

$ (13.38)

2 . Степеневі ряди

2 .1. Степеневі ряди за степенями

Означення 1. Степеневим рядом називається функціональний ряд такого вигляду:

, (13.39)

де постійні числа, що називаються коефіцієнтами ряду.

Як видно буде із наступної теореми, областю збіжності степеневого ряду може бути вся числова вісь, інтервал або тільки одна точка .

Теорема 1 (теорема Абеля). 1) Якщо степеневий ряд (13.39) збігається в деякій точці , то він збігається абсолютно при всіх знач$еннях для яких

2) якщо ряд (13.39) розбігається при деякому значенні , то він розбігається при всіх , для яких

Д о в е д е н н я. 1) Оскільки, за припущенням, ряд (13.39) збігається в точці

,

то його загальний член прямує до нуля при тобто а це значить, що всі члени ряду обмежені

де деяке додатне число.

Перепишемо $ряд (13.39) у вигляді

(13.40)

і розглянемо ряд, складений із абсолютних величин його членів:

(13.41)

Члени цього ряду менші за відповідні члени ряду

(13.42)

При ряд (13.42) представляє геометричну прогресію із знаменником , а, значить, він збігається. Оскільки члени ряду (13.41) менші за відповідні члени ряду (13.42), то ряд (13.41) також збігаєтьс$я (за теоремою порівняння). Це значить, що ряд (13.40) або (13.39) збігається абсолютно.

2) Нехай тепер ряд (13.39) в деякій точці розбігається. Тоді він розбігається і в довільній точці , що задовольняє умові

Дійсно, якщо б він збігався в деякій точці що задовольняє цій умові, то за $першою частиною теореми він повинен збігатися і в точці оскільки Але це протирічить умові, що в точці ряд розбігається. Отже, ряд (13.39) розбігається і в точці Таким чином, теорема повністю доведена.

Теорема 2. Областю збі$жності степеневого ряду (13.39) є інтервал з центром в початку координат.

Д о в е д е н н я. Дійсно, якщо є точка збіжності, то за теоремою Абеля весь інтервал заповнюється точками абсолютної збіжності. Якщо точка розбіжності, то вся безмежна напівпряма вправо від точки і вся напівпряма вліво від точки складаються із точок розбіжності.

Звідси можна зробити висновок, що існує таке число , що при ми маємо точки абсолютної збіжності, а при точки розбіжності.

Означення 2.$ Інтервалом збіжності степеневого ряду називається такий інтервал , що для довільної точки , що лежить всередині цього інтервалу, ряд збігається абсолютно, а для точок, що знаходяться поза ним, ряд розбігається (рис. 13.3). Число називається радіусом збіжності степеневого ряду.

На кінцях інтервалу (тобто при ) питання про збіжність або р$озбіжність даного ряду вирішується індивідуально для кожного конкретного ряду.

Ряд збігається

$

Рис.13.3

Якщо , то степеневий ряд збігається тільки в одній точці Якщо , то ряд збігається на всій числовій осі.

Вкажемо метод визначення радіуса збіжності степеневого ряду (13.39). Для цього розглянемо ряд, складений із абсолютних величин його членів:

(13.43)

Застосуємо$ ознаку Даламбера

,

де Тоді за ознакою Даламбера ряд (13.43) збігається, якщо , тобто якщо , і розбігається, якщо , тобто якщо

Отже, ряд (13.39) збігається абсолютно при і розбігається при За означенням 2 інтервал є інтервалом збіжності степеневого ряду (13.39), тобто

(13.44)

Аналогічно для визначення інтервалу збіжності можна користуватися радикальною ознакою Коші, і тоді радіус збіжності

(13.45)

2 .2. Ряди за степенями

Степеневий ряд, розташований за степен$ями має такий вигляд :

(13.46)

де постійні також називаються коефіцієнтами ряду.

При ми одержимо ряд (13.39), а тому ряд (13.39) є частинним випадком ряду (13.46).

Для визначення області збіжності ряду (13.46) проведемо в ньому заміну змінної

$

після чого одержимо ряд типу (13.39), розташований за степенями

(13.47)

Нехай інтервал є інтервал збіжності ряду (13.47). Звідси випливає, що ряд (13.46) буде збігатися при значенн$ях що задовольняють нерівність тобто або

(13.48)

Оскільки ряд (13.47) розбігається при то ряд (13.46) буде розбігатися при тобто буде розбігатися поза інтервалом (13.48).

Отже, інтервалом збіжності степеневого ряду (13.46) буде інтервал з центром в точці Всі властивості степеневого ряду, розташованого за степенями всередині інтервалу збіжності повністю зберігаються для степеневого ряду, розташованого за ст$епенями всередині інтервалу збіжності

Приклад.

Р о з в ‘ я з о к. За формулою (2.30) одержимо

При : Це знакочергуючий ряд.

Перевіримо умови теореми Лейбніца:

1)

2) Оскільки умови$ теореми виконуються,

то даний знакочергуючий ряд збігається.

При : Це ряд з додатними членами.

Для дослідження його збіжності використаємо інтегральну ознаку Коші інтеграл розбігається, тому і ряд розбігається. Отже, область збіжності даного ряду

Post Comment