РЕФЕРАТ
на тему:
“Лінійний векторний простір”
Векторний простір (лінійний простір) — безліч елементів, які назива$ються векторами, для яких визначені операції додавання і множення на число. Найпростіший, але важливий приклад — сукупність векторів a, b, c, … звичайного 3-мірного простору. Кожен такий вектор — спрямований відрізок, що задається трьома числами: ; числа називаються координатами вектора.
При множенні вектора на речове число відповідний відрізок, зберіга$ючи напрямок, розтягується в раз: . Сума двох векторів знаходиться за правилу параллелограмма; якщо і те .
Парі векторів a і b зіставляють також скалярний добуток (скалярним опосередкованим узагальненням З-мірного простору є n-мірнийевклідовий простір.
Його елементи — упорядковані набори речовинних чисел, Наприклад, $, . Додавання і множення векторів на число визначені формулами , , а скалярний добуток — формулою Прикладом комплексного безкінечномірного векторного простор$у може служити сукупність комплексних функцій f, заданих на всій осі і квадратично сумованих (тобто маючих кінцевий інтеграл ). Багато класів функцій, наприклад, поліноми заданого порядку, функції безупинні, диференційовані, що інтегруються, аналітичні і тому подібні, також утворять безкінечномірні векторні простори.
У кожнім векторному просторі, крім операцій додавання і множення на число, звичайно маються ті чи інші додат$кові операції і структури (наприклад, визначений скалярний добуток). Якщо ж не уточнюють природи елементів векторного простору і не припускають у ньому ніяких додаткових властивостей, то векторний простір називають абстрактним. Абстрактний векторний простір L задають за допомогою наступних аксіом:
1. будь-якій парі елементів х и $у з L зіставлений єдиний елемент z, називаний їхньою сумою z=x+y і приналежний L;
2. для будь-якого числа і будь-якого елемента x з L визначений елемент z, що називається їхнім добутком і приналежний L;
3. операції додавання і множення на число є асоціативними і дистрибутивними.
Додавання допускає зворотну операцію, тобто для будь-яких х и у з L існує єдиний елемент w з L такий, що x+w=y. Крім того$, мають місце формули .
Якщо всі числа речовинні (комплексні), говорять про речовинний (комплексному) векторна просторі; безліч чисел називають полем скалярів L. Поняття векторного простору м$ожна ввести і для довільного полючи, наприклад, полючи кватерніонів.
Якщо — елементи векторного простору L, то вираження виду називається їхньою лінійною комбінацією; сукупність усіх лінійних комбінацій елементів підмножини S з L називають лінійною оболонкою S. Вектори з L називають лінійно незалежними, якщо умова ( -$ будь-які елементи полючи скалярів) може виконуватися тільки при . Нескінченна система векторів називається лінійно незалежної, якщо будь-яка її кінцева частина є лінійно незалежної. Безліч елементів підмножини S з L називається системою утворюючих S, якщо будь-який вектор х з S можна представити у виді лінійної комбінації цих елементів. Лінійно незалежна система утворюючих S називається базисом S, якщо розкладання будь-якого елем$ента S по цій системі єдино.
Базис, елементи якого яким-небудь образом параметризовані, називається системою координат у S. Базис векторного простору завжди існує, хоча і не визначається однозначно. Якщо базис складається з кінцевого числа n елементів, то векторний простір називається n-мірним$ (конечномірні); якщо базис — нескінченна безліч, той векторний простір називається безкінечномірні. Виділяють також лічильномірні векторні простори, у яких мається рахунковий базис.
Підмножини векторного простору L, замкнуті щодо його операцій, називаються підпросторами L. По будь-якому підпросторі S можна побудувати новий$ векторний простір L/S, називане фактором-простором L по S: кожен його елемент є безліч векторів з L$, що розрізняються між собою на елемент із S. Розмірність L/S називається коразмірністю підпростору S у L; якщо розмірності L і S рівні відповідно n і k, те коразмірність S у $L дорівнює n-k. Якщо J — довільна безліч індексів i і Si – сімейство підпросторів L, те сукупність усіх векторів, що належать кожному з Si, є підпростір, називається перетинанням зазначених підпросторів і що позначається . Для кінцевого сімейства підпросторів S1, …, Ss сукупність усіх векторів, які представлені у виді
| , xi з Si, | (*) |
є підпростір, називаний сумою S1, …, Ss і що позначається S$1+ … +Ss. Якщо для будь-якого елемент$а суми S1+ … +Ss представлення у виді (*) єдино, ця сума називається прямої і позначається . Сума підпросторів є прямої тоді і тільки тоді, коли перетинання цих підпросторів складається тільки з нульового вектора. Розмірність суми підпросторів дорівнює сумі розмірностей цих підпросторів мінус розмірність їхнього перетинання. Векторний простір L1 і L2 називають ізоморфним і, якщо і$снує взаємно однозначна відповідність між їх елементами, погоджена з операціями в них; L1 і L2 ізоморфні тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову розмірність.
Конкретні приклади векторного простору можна знайти в математичному апараті практично будь-якого розділу фізики. Кінцевомірними речовинними векторними просторами є, наприклад, трехмерное физическое пространство(без обліку кривизни), конфигурационное пространствоі фазовое пространствосистеми n класичних крапкових часток. До числа безкінечномірних комплексних векторних просторів належать г$ильбертовы пространства, конкретну й абстрактну, складову основу математичного апарата квантової фізики. Найпростіший приклад гільбертова просторів уже згадуваний простір .
Основні фізичні приклади — простору векторів станів різ$них систем мікрочастинок, досліджуваних у квантовій механіці, квантовій статистичній фізиці і квантовій теорії поля. Знаходять застосування і такі векторні полючи, у яких поле скалярів не збіга$ється з безліччю речовинних чи комплексних чисел: так, гільбертово простір над полем кватерніонів використовується й однієї з формулювань квантовой механики, а гільбертовий простір над полем октоніонов — в одній з формулювань квантової хромодинаміки. У сучасних теориях суперсимметрии інтенсивно застосовуються$ так називані градуйовані векторні полючи, тобто лінійні простори разом з їхнім фіксованим розкладанням у пряму нескінченну суму підпросторів.
Використана література:
1. Векторний простір. – М., 1992.
2. Вища математика в прикладах. – К., 1998.
3. Математична енциклопедія. – М., 1983.