Модальні групи

Реферат на тему:

Модальні групи

(структурні властивості)

Різноман$ітні дослідження багатьох математиків [3-4] присвячені вивченню зв’язків між будовою групи G і будовою решітки її підгруп LG. Встановлено, що будова цієї решітки суттєво впливає на будову самої групи G. Привертають особливу увагу групи G для яких решітка підгруп LG належить фіксованому многовиду решіток a. Клас всіх таких груп позначимо t(a). Зрозуміло, що клас t(a) замкнений відносно підгруп і гомоморфних образів. В подальшому клас груп t(a) називається групоїдом. Так як перетин довільного сімейства групоїдів є групоїдом, то сукупність Г всіх г$рупоїдів відносно включення утворює повну решітку.

$Відображення y: a ® t(a) є гомоморфізмом решітки всіх многовидів решіток L на решітку групоїдів Г. Як доведено в [1], гомоморфізм y не є ізоморфізмом.

Фундаментальні результати для класа модулярних груп t(М), класа дистрибутивних груп t(D) та ін. викладено в монографії [5].

Многовид модальних решіток Un введений Йонсоном [6]. Згідно з означенням, група G Î t(Un) тоді і тільки тоді, коли решітка її підгруп задовольняє включення:

T(Ai + Aj$) Ì ,

де і, j = 1,…, n; причому і ¹ j. Якщо l < m, то очевидно t(Ul) Ì t(Um). Зрозуміло також, що t(U2) = t(D).

Опис класів t(U3) і t(U4) дано в роботах [1–2]. В даній роботі дається характеристика абелевих груп і неабелевих спеціальних груп групоїда t(U5).

1. Опис групоїда t(U3).

Група G є модальною тоді і тільки тод$і, коли вона має таку будову:

G – локально циклічна група;

G Î {Q, B}, де Q – група кватерніонів, а В – нециклічна група 4-ого порядку;

G = A ´ B*, де А Î {Q, B} і В* – локально циклічна група, кожний елемент якої має непарний порядок.

Із цього результату, зокрема, випливає включення t(U3) Ì t(M), тоді як многовиди решіток U3 і М неможливо порівняти$. Кожна 3-модальна група задовольняє тотожність [x, y2] = 1.

2. Опис групоїда t(U4).

Істотним в описі 4-модальних груп є наступний крітерій, який має місце для$ довільного параметра n.

Група G – модальна тоді і тільки тоді, коли для довільного елемента t Î і t Ï , порядки k1,…, kn елемента t, відносно підгруп Аі,…, An, взаємно прості в сукупності, причому хоча б два з них відмінні від нуля.

Абелева група G є модальною (4-модальною) тоді і тільк$и тоді, коли вона належить до одного з наступних типів:

G – локально циклічна група;

G Î {В, С}, де В – нециклічна група 4-ого порядку або прямий добуток циклічної групи 4-го порядку на групу 2-го порядку, а С – нециклічна група 9-го порядку;

G = В ´ С ´ K, де K – локально циклічна періодична група, причому (B, K) = (C, K) = 1.

Всяка 4-модальна група G$ задовольняє тотожність [x2, y2] = 1.

Опис 4-модальних неабелевих груп, які задовольняють тотожність [x, y2] = 1, дається наступним твердженням.

Для неабелевої періодичної групи G наступні умови рівносильні:

G – модальна і задовольняє тотожність [x, y2] = 1;

G = Q ´ C ´ K, де K – локально циклічнагрупа, (Q, K) = (C, K) = 1 і C або K можуть бути і одиничними групами.

Групу S3(m) виду:

<k, b | k3 = 1, kb = bk –1, >,

будемо називати узагальненою симетричною групою. Маємо наступний опис неабелевих модальних груп, параметру n = 4. Групи із класу t(U4) мають наступну будов$у:

G = Q ´ C ´ B, де B – локально циклічна періодична група, (C, B) = (Q, B) = 1 і C або B можуть бути і одиничними групами;

G = A ´ S, де А – абелева періодична модальна група, а S – узагальнена симетрична група, причому (A, S) = 1.

3. Будова деяких груп із класу t(U$5).

Довільна група G, із вказаного класу, задовольняє тотожність [x6, y6] = 1. Крім того, для довільних елементів x, y Î G Î t(U5) має місце рівність х×у6×х –1 = у6l, де число l залежить від елементів х і у. Для абелевих модальних груп справедлива наст$упна теорема.

Теорема 1. Абелева група G є модальною тоді і тільки тоді, коли

G – локально циклічна група;

G Î {C, D}, де С – нециклічна група 9-го порядку, D Î {B2 ´ B2, B4 ´ B2, B8 ´ B2, B4 ´ B4, E(2, 8)} і Bl – ц$иклічна група l-го порядку;

G = C ´ D ´ T, де Т – локально циклічна періодична група, причому (С, Т) = (D, T) = 1.

Якщо в періодичній модальній групі G = <a, b> елемент c = [a, b] ¹ 1 міститься в центрі групи G, то G містить: або групу кватерніонів Q, або групу діедра D8, або групу Т3, де Т3 має вигляд:

&$lt;u, v | u8 = 1, v2 = 1, uv = vu5>.

Опис спеціальних модальних груп дається наступною теоремою.

Теорема 2. Для неабелевої періодичної групи G наступні умови рівносильні:

G – модальна і задовольняє тотожність [x, y2] = 1;

G = A ´ B, де А – абелева, модальна і періодична, а В Î {Q, Q*, D8, T3}, причому (А, В) = 1.

Тут Q* = Q ´ {1, u}, де u2 = 1; Е(2, 8) – елементарна абелева група 8-го порядку.

$Література

1. Мельник И.И. Строение модальных групп. // Деп. ВИНИТИ.–1981.–№ 3270–С.1–17.

2. Мельник И.И. Некомутативные модальные групы. // Деп. УкрНИИНТИ.–1983.–№ 9679 К–С.1–17.

3. Черников С.Н. Групы с заданными свойствами системы подгруп. М:Наука.–1980.–384с.

4. Аршинов М.Н., Садовский Л.Е. Некоторые теоретико-структурные свойства групп и полугрупп. // У$МН.–1972.–Вып.6, 168, ХХІІ.–С.134–180.

5. Судзуки М. Строение группы и строение структуры ее подгрупп. М:Изд.ин.лит.–1960.–158с.

6. Jonsson B. Equational classes of lattices. Math. Scand.–1968.–22.–P.187–196.

7. Ore O. Structures and grou$p theory.1. Duke Math. J.–1937.–3.–P.149–173.

8. Jwasawa K. Uber die end lichen Gruppen und die Verbande ihrer Untergruppen. J. Univ. Tokyo.–1941.–P.141–199.

Post Comment