Монотонність функції необхідні і достатні умови Eкстремум функції однієї та декількох змінних

Пошукова робота на тему:

Монотонність функції, необхідні і достатні умови. Eкстремум функції однієї та декількох змінних.. Необ$хідні і достатні умови. Найбільше і найменше значення функції на замкнутому проміжку і в обмеженій замкнутій області.

План

  • Монотонність функції, необхідні і достатні умови
  • Екстремум функції, необхідні і достатні умови
  • Найбільше і найменше значення функції на $замкнутому проміжку
  • Екстремум функції декількох змінних.
  • Необхідні і достатні умови екстремуму для функції двох змінних
  • Найбільше та найменше значення функції в обмеженій замкнутій області

1. Екстремуми функцій

1.1. Зростання і спадання функцій

Дамо ряд означень. Припустимо, що функція визначена на деякому проміжку а $ є внутрішньою точкою цього проміжку.

Означення. Функція називається зростаючою (спадною) в точці , якщо існує окіл точки , який міститься в проміжку і є такий, що для всіх і ) для всіх .

Означення. Якщо функція є зростаючою (спадною) в кожній внутрішній точці проміжку то вона називається зростаючою (спадною) на цьому проміжку.

2.Достатні ознаки зростання (спадання) диференційованої функції.

Теорема. Якщо функція у внутрішній точці має похідну і , то функція в точці$ зростає (спадає).

Д о в е д е н н я. Розглянемо випадок, коли .

Скористаємось означенням похідної

,

де .

Тоді з попе$редньої рівності та умови теореми маємо

.

При цьому знайдеться окіл точки такий, що для всіх крім, можливо, точки справджуватиметься нерівність .

Нехай , тобто . Тоді$ з попередньої нерівності маємо, що й .

Нехай , тобто . Тоді з тієї самої нерівності дістаємо, що .

Отже, існує окіл точки такий, що для всіх матимемо , а для всіх , а це й означає, що в точці функція є зростаючою.

Теорему доведено.

Аналогічно доводиться випадок, коли .

3. Інтервали, на яких функція зростає (спадає), називаються інтервалами монотонності функції. Згідно з доведеним, у диференційованої функції на інтервалі зростання , на інтервалі спадання $. Якщо похідна функції неперервна, то розділяти інтервали монотонності можуть лише точки, в яких , оскільки зміна знаку неперервної функції можлива лише при переході ч$ерез її нуль. Точка, в якій , називається точкою стаціонарності функції . Зауважимо, що кожна точка стаціонарності розділяє інтервали монотонності (наприклад, функції і мають точку стаціонарності ; ця точка для розділяє, а для не розділяє інтеграли монотонності похідної функції , то інтервали монотонності можуть розділяти не лише точки стаціонарності . Наприклад, для точка розділяє інтервали монотонності, в цій точці і похідна функції не існує.

Обмежимося розглядом функцій, диференційованих скрізь, крім, можливо, скінченого числа точок, в їх областях визначення і які мають не більше скінченого числа точок стаціонарності. Як$що функція розглянутого класу, то доводиться, що її інтервали монотонності розділяються або точками стаціонарності , або точками, в яких похідна функції не існує. Але ж не кожна така точка буде розділяти інтервали монотонності (рис. 6.11).

Рис.6.11

Сформул$юємо правила дослідження функцій на зростання і спадання.

10.Знаходимо точки із області означення функції, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує. Ці точки називають критичними для функції за першою похідною.

Критичні точки розбивають область означення функції на інтервали, на кожному і$з яких похідна зберігає знак.

20. Досліджуємо знак на кожному із цих інтервалів.

Якщо на інтервалі , то це інтервал зростання, якщо , інтервал спадання.

Приклад.

$

Знайти інтервал зростання і спадання функції.

Р о з в ’ я з о к. Обчислимо похідну

.

Знайдемо точки, в яких . Це точки, в яких . Розв’яжемо цю нерівність:

.

Отже, в інтервалі функція зростає; в інтервалах

функція спадає.

1.2. Екстремуми функцій

Нехай функція визначена в деякій області і точка внутрішньою точкою

області .

Означення. Функція в точці має максимум, якщо $для всіх точок деякого околу цієї точки виконується нерівність

. (6.85)

Означення. Функція в точці має мінімум, якщо для всіх точок деякого околу цієї точки виконується $нерівність

. (6.86)

Максимуми і мінімуми функції називаються її екстремумами.

Необхідні умови існування екстремуму.

Теорема.1. Якщо диференційована функція має в точці екстремум, то .

Д о в е д е н н я. Нехай, наприклад, функція має в точці максимум. Тоді при достатньо малому , а тому

$

Переходячи до границі при , одержимо:

Згідно з умовою — диференційована функція в точці . Тому одержані границі дорівнюють . Таким чином, маємо і , отже .

Теорема 2. У точці екстремуму функції кількох змінних кожна її частинна похідна першого порядку або дорівнює нулю, або не існує.

Д о в е д е н н я. Нехай функція в точці має макс$имум – для конкретності. Зафіксуємо значення всіх змінних, крім однієї, наприклад , поклавши їх рівними між собою: .

Тоді функція стає функцією однієї змінної :

.

За умовою теореми функція має максимум, тобто,

Остання нерівність означає, що функція як функція однієї змінної в точці має максимум. На основі вище доведеної теореми виводимо, що в точці похідна дорівнює нулю або не існує. Аналогічно доведемо, що і всі інші частинні похідні першого порядку в точ$ці дорівнюють нулю або не існують.

Наслідок. В точці екстремуму диференційованої функції виконуються рівності

(6.87)

Означення. Точки, в яких частинні похідні першого порядку деякі функції дорівнюют$ь нулю або не існують, називаються критичними точками.

Із доведеної теореми витікає, що екстремум функції кількох змінних може досягатись лише в критичних точках.

Для диференційованої функції двох змінних критичні точки знаходяться із системи рівнянь

$ (6.88)

Приклад.

Знайти критичні точки функції

Р о з в ’ я з о к. Прирівнюючи до нуля частинні похідні даної функції, одержуємо систему рівнянь для знаходження координат критичних точок:

Функція має чотири критичні точки:

.

Достатні умови існування екстремуму.$

Теорема. Нехай є критична точка функції , яка в цій точці є неперервною, і нехай існує окіл точки , в якому має похідну , крім, можливо, точка . Тоді:

1) якщо в інтервалі похідна , а в інтервалі похідна , то є точкою максимуму функції ;

2) якщо в інтервалі , а в інтервалі то є точкою мінімуму функції ;

3) якщо в обох інтервалах і похідна має той самий знак ( набуває або тільки додатних, або тільки від’ємних значень), то не є екстрем$альною точкою функції .

Перше правило дослідження функції на екстремум. Щоб дослідити функцію на екстремум, треба:

1) знайти стаціонарні точки даної функції (для цього слід розв’язати рівняння , причому з його коренів вибрати тільки дійсні і ті, які є внутрішніми точками області існування функції).

2) знайти точки, в яких похідна не існує (функціяв цих точках існує);

3) у кожній критичній точці перевірити змін$у знака похідної першого порядку.

Приклади.

1. Дослідити на екстремум функцію.

Р о з в ’ я з о к. 1). Знаходимо

.

Розв’язуємо рівняння :

Звідси визначаємо стаціонарні точки

2). Точок, в яких похідна не існує, немає. Отже, стаціонарні точки є єдиними критичними точками заданої функції.

3). Розглянемо інтервали

$

.

Для визначення знака похідної обчислимо останню в довільних точках, які належать даним інтервалам. Візьмемо, наприклад, такі точки: .

Тоді:

Отже, при переході через точку похідна змінює знак з “+” на “-” ; у цій точці функція має екстремум який дорівнює при переході через точку$ похідна змінює знак “-” на “+”; у цій точці функція має мінімум, який дорівнює ; при переході через критичну точку похідна знак не змінює; точка не є екстремальною для заданої функції

Теорема. Нехай точка є стаціонарною для функції і нехай в цій точці існує похідна другого порядку , яка не

дорівнює нулю, . Тоді, якщо то$ є точкою

мінімуму; якщо , — точкою максимуму функції .

Друге правило дослідження функції на екстремум. Щоб дослідити функцію на екстремум, треба знайти:

1) стаціонарні точки заданої функції

2) похідну другого$ порядку в стаціонарній точці.

3) якщо то в цій точці функція має максимум, якщо мінімум.

Приклад. Користуючись другим правилом, дослідити функц$ію на екстремум.

Р о з в ’ я з о к. Знаходимо похідну . Прирівнюємо її до нуля і розв’язуємо рівняння

Звідси дістаємо такі стаціонарні точки: .

Знаходимо похідні другого порядку: . Підставляємо у вираз для знайдені значення і :

.

Отже, є точкою максимуму, а — точкою мінімуму функції , причому максимум і мінімум відповідно дорівнюють .

Достатня умова екстремуму функції двох змінних.

Теорема. Нехай в околі критичної точки функція має неперервні частинні похідні до другого порядку включно. Розглянемо вираз

$.

Тоді

1) якщо , то в точці функція має екстремум; максимум, якщо , і мінімум, якщо ,

2) якщо , то в точці функція екстремуму не має.

У випадку , коли , екстремум в точці може бути, може і не бути.

Приклад. Знайти екстремум функції .

Р о з в $’ я з о к. Знаходимо критичні точки функції :

Функція має дві критичні $точки: .

Знаходимо частинні похідні другого порядку:

Дослідимо характер першої критичної точки :

.

Отже, в точці функція не має ні максимуму, ні мінімуму.

Дослідимо характер другої точки :

Оскільки , то в точці функція має мінімум: .

6.15.3. Знаходження найбільшого і найменшого значень функції

1. Нехай на відрізку задана неперервна функція , яка за теоремою Вейерштрасса на даному відрізку сягає свого найбільшого і свого найменшого значення. Проте теорема Вейерштрасса не дає способу знаходження тих точок відрізка , в яких функція дорівнює своєму найбі$льшому (найменшому) значенню. Теорема тільки стверджує, що такі точки існують. Це можуть бути як внутрішні точки відрізка, так і його кінці.

Щоб з$найти найбільше (найменше) значення неперервної функції на відрізку , треба знайти максимуми і мінімуми і порівняти їх із значеннями функції, яких вона набуває на кінцях відрізка. Найбільше (найменше) число серед утвореної множини і буде найбільшим (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку .

Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку .

Р о з$ в ’я з о к. Знаходимо стаціонарні точки. Для цього обчислимо похідну Прирівнюючи цю похідну до нуля і розв’язуючи рівняння

,

дістаємо стаціонарні точки .

Точок, в яких похідна не існує, немає.

Обчислимо значення функції в точках (ці точки належать відрізку ), а також на кінцях відріз$ка, тобто в точках . Маємо

Отже, найбільше значення становить , найменше —

Щоб знайти найбільше (найменше) значення функції замкненій області , потрібно знайти значення функції у всіх критичних точках і порівняти їх з найбільшими (найменшими) значеннями функції на границях області: найбільше і найменше із цих значень і буде найбільшим і найменшим значенням$ функції в даній області.

Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції в трикутнику (рис. 6.14), обмеженому прямими .

Р о з в ’ я з о к.

Знайдемо критичні точки функції:

;

;

Оскільки в даній області , то

У критичній точці функція приймає значення

.

Рис.6.12

Дослідимо поведінку функції на границях області.

На прямих і . На прямій ця функція є функцією однієї змінної $, оскільки ;

.

Знайдемо найбільше і найменше значення функції на відрізку :

Критична точка . В цій точці $. На кінцях відрізка . Отже, функція досягає найбільшого значення в точці , а найменшого – в точці . Найбільше значення , найменше значення .

Зауваження. До знаходження відповідно найбільшого чи найменшого значення певної функції зводиться цілий ряд практичних задач.

Post Comment