Поняття предиката

Реферат$ на тему:

Поняття предиката

Числення висловлень, що розглядалось у попереднiх роздiлах, як алгебра висловлень i як формальна (аксiоматична) теорiя, є важливою i невiд’ємною складовою частиною всiх числень математичної логiки. Однак воно є занадто бiдним для опису та аналiзу найпростiших логiчних мiркувань науки i практики.

Однiєю з причин цього є те, що у численнi висловлень будь-яке просте висловлення розглядається як вихiдний об’єкт дослiдження, неподiльне цiле, позбавлене частин i внутрiшньої структури, яке має лише одну властивiсть — бути або iстинним, або хибним.

Для того, щоб побудувати систему правил, яка дозволяла б проводити логiчнi мiркування для виведення нетривiальних правильн$их висновкiв з урахуванням будови i змiсту простих висловлень, пропонується формальна теорiя, що дiстала назву числення предикатiв.

Теорiя предикатiв починається з аналiзу граматичної будови простих висловлень i грунтується на такому висновку: простi висловлення виражають той факт, що деякi об’єкти (або окремий об’єкт) мають певнi властивостi, або що цi об’єкти знаходяться мiж собою у певному вiдношеннi.

Наприклад, в iстинному висловленнi «3 є пр$осте число» пiдмет «3» — це об’єкт, а присудок «є просте число» виражає деяку його властивiсть.

У латинськiй граматицi присудок називаєт$ься предикатом, звiдси цей термiн i увiйшов у математичну логiку. Головним для логiки предикатiв є саме друга складова речення-висловлення — присудок-властивiсть. Вона фiксується, а значення об’єкта пропонується змiнювати так, щоб кожен раз отримувати осмисленi речення, тобто висловлення.

Наприклад, замiнюючи у наведеному вище висловленнi 3 на 1, 5, 9 або 12, матимемо вiдповiдно такi висловлення: «1 є просте число», «5 є просте число», «9 є просте число», «12 є просте число», з яких друге є iстинним, а решта — хибними висловленнями.

Таким чином, можна розглянути вираз «x є просте число», $який не є висловленням, а є так званою пропозицiйною (висловлювальною) формою. Тобто формою (або формуляром), пiсля пiдстановки в яку замiсть параметра (змiнної) x об’єктiв (значень) з певної множини M, дiстаємо висловлення.

Аналогiчно можна трактувати, наприклад, пропозицiйнi форми$ «a є українцем», «b i c є однокурсники», «c важче d», або «точка x лежить мiж точками y i z». У першi двi з них можна пiдставляти замiсть параметрiв a, b i c прiзвища конкретних л$юдей. У третю замiсть c i d назви будь-яких об’єктiв (предметiв), якi мають вагу. Для четвертої множиною M значень змiнних x, y i z є множина точок певної прямої.

Перша з цих пропозицiйних форм задає, як i в наведенiй ранiше формi, певну властивiсть для об’єкта a. Iншi три форми описують деякi вiдношення мiж вiдповiдними об’єктами.

Розглянувши конкретнi приклади i коротко зупинившись на мотивацiї та змiстовнiй iнтерпретацiї подальших понять, перейдемо до формальних математичних означень.

$

n-мiсним предикатомP(x1,x2,…,xn) на множинi M називається довiльна функцiя типу Mn®B, де B = {0,1} — бульовий (двiйковий) алфавiт.

Множина M називається предметною областю, або унiверсальною множиною, а x1,x2,…,xnпредметними змiнними, або термами пр$едиката P.

Множина елементiв (a1,a2,…,anMn таких, що P(a1,a2,…,an) = 1 називається областю iст$инностi (або характеристичною множиною) предиката P.

Якщо P(a1,a2,…,an) = 1, то згiдно з логiчною iнтерпретацiєю будемо говорити, що предикат P є iстинним на (a1,a2,…,an). У противному разi, казатимемо,$ що предикат P є хибним.

Взагалi кажучи, можна означити так званий багатосортний предикат, як функцiю типу M1´M2´…´Mn®B, дозволивши різним його аргументам приймати значення з рiзних множин. Iнодi це буває доцiльним; однак частiше в логiцi предикатiв використовують наведене ранiше означення.

Неважко зрозумiти, що пропозицiйна форма є одним зi способiв $задання предиката.

Для n = 1 предикат P(x) називається одномiсним або унарним, для n = 2 P(x,y) — двомiсним або бiнарним, для n = 3 P(x,y,z) — трьохмiсним або тернарним предикатом.

Очевидно, що коли в n-арному предикатi P(x1,x2,…,xn$) зафiксувати деякi m змiнних (тобто надати їм певних значень з множини M), то отримаємо (nm)-мiсний предикат на множинi M. Це дозволяє вважати висловлення нульмiсними предикатами, якi утворено з багатомiсних предикатiв пiдстановкою замiсть усiх їхнiх параметрів певних значень з предметної областi. Так$им чином, висловлення можна розглядати як окремий випадок предиката.

Для довiльної множини M i довiльного n iснує взаємно однозначна вiдповiднiсть мiж сукупнiстю всiх n-мiсних предикатiв на M i множиною всiх n-арних вiдношень на M. А саме, будь-якому предикату $P(x1,x2,…,xn) вiдповiдає вiдношення R таке, що (a1,a2,…,anR тодi i тiльки тодi, коли P(a1,a2,…,an$) = 1. Очевидно, що при цьому R є областю iстинностi предиката P.

Крiм того, за будь-якою вiдповiднiстю C мiж множинами A i B (тобто CÍA´B) можна побудувати бiнарний двосортний предикат P(x,y) таким чином: P(a,b) = 1 тодi $i тiльки тодi, коли (a,bC для aÎA i bÎB.

Зокрема, будь-якiй функцiональнiй вiдповiдностi або функцiї f: Mn®M можна поставити у вiдповiднiсть (n+1)-мiсний предикат P на M такий, що P(a1,a2,…,an,an+1) = 1 тодi i тiльки тодi, коли f(a1,a2,…,an) = an$+1.

Отже, такi фундаментальнi математичнi поняття як вiдповiднiсть (зокрема, функцiя), вiдношення, висловлення можна розглядати як окремi випадки бiльш загального поняття предиката.

Post Comment